Прогнозирование и оценка меры риска с использованием модели Value-at-Risk

0
214

В 90-е годы прошлого века теория и практика управления портфелем обогатилась концепцией VaR (Value at Risk). В переводе VaR можно объяснить как стоимость (портфеля), которым рискует инвестор. Появление методики VaR объясняется тем, что во многих случаях дисперсия не может рассматриваться как достаточный показатель измерения риска портфеля. Например, дисперсия не учитывает возможную асимметрию в распределении доходности портфеля, если оно не является симметричным. Наиболее ярким случаем является портфель, включающий значительную долю производных инструментов. Таким образом, VaR — это показатель, оценивающий риск портфеля. Следует подчеркнуть, что VaR оценивает рыночный риск. Он позволяет количественно оценить ожидаемые потери в стоимости портфеля в «нормальных условиях» функционирования рынка.

VaR — это показатель риска, который показывает, какую максимальную сумму денег (в базовой валюте) может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Сооответственно VaR также говорит о том, что потери в стоимости портфеля в течение этого периода времени будут меньше этой величины с определенной вероятностью. Доверительную вероятность можно определить как показатель, который показывает какое количество раз из каждых 100 раз потери в стоимости портфеля не превысят данного уровня. Поэтому VaR призван ответить на следующий вопрос: «Какой может оказаться максимальный убыток стоимости портфеля, например, в 95% случаях в течение следующего дня?» Уровень доверительной вероятности задается заранее и зависит от характера компании, владеющей портфелем, и от субъективного подхода управляющего портфелем к этому вопросу. Обычно он равен 95% или 99%. Следует подчеркнуть, что выбор того или иного уровня доверительной вероятности не говорит об отношении инвестора к риску, так как VaR — это только определенная точка в распределении ожидаемых результатов доходности портфеля.

Различают также абсолютный и относительный VaR. Разница между этими понятиями составляет том, что абсолютный VaR определяет для инвестора величину максимальных (чистых) убытков с заданной вероятностью относительно нулевой ожидаемой доходности портфеля, в то время как относительный VaR — относительно величины самой ожидаемой доходности, то есть включает как чистые убытки так и недополученные доходы. При малых временных горизонтах эти значения очень близки и на практике чаще используют именно относительный VaR.

Традиционные техники вычисления VaR

  • — параметрический метод;
  • — моделирование по историческим данным;
  • — метод Монте-Карло.

Рассмотрим параметрический метод , как таковой, используемый на практике чаще всего и не является сложным при исчислении.

При параметрическом методе делается предположение о сходстве эмпирического распределения кривой прибылей (убытков) финансовых инструментов с определенным теоретическим известным законом распределения (чаще всего — нормального распределения) и основываясь на известных параметрах этого теоретического распределения вычисляется его квантиль (значение, которое с заданной вероятностью случайная величина не превысит ).

Согласно параметрического подхода VaR основываясь на свойствах нормального закона распределения с заданной вероятностью вычисляется по следующей формуле:

VaR(α) = Z (α)σP

Где: Z (α) — известный квантиль нормального стандартного распределения (с параметрами μ = 0, σ = 1) с заданной вероятностью α (чаще всего используются 1,645 при α = 95% и 2,326 при α = 99%);

σ — стандартное отклонение доходности (%) финансового инструмента(-ов), которое рассчитывается по формуле:

  • в случае достаточного количества исторических данных
  • по выборочным данным (несмещенная оценка):  P — текущая стоимость финансового инструмента (портфеля). При исчислении стандартного отклонения заказным является использование вместо обычных темпов прироста логарифмическую доходность, то есть: С использованием логарифмической доходности становится возможным масштабирование ее стандартного отклонения к разным временным горизонтам. Например σ — ежедневное стандартное отклонение логарифмической доходности инструмента, тогда для горизонта в t дней стандартное отклонение будет составлять  Для портфеля активов делается предположение о совместном нормальном распределении доходностей этих активов и соответственно стандартное отклонение рассчитывается по формуле: В случае двух активов формула существенно упрощается:

Рассмотрим два типичных примера на расчет VaR

1. Рассчитать VaR с горизонтом в 1 день с доверительной вероятностью 95% для портфеля акций одного выпуска текущей стоимостью 500 тыс. Грн. при ежедневном стандартном отклонении цен акций в 1,2%. Расчет :

Z (0,95) = 1,645 стандартных отклонений.

VaR (95%) = Z (α)σP

VaR (95%) = 1,645 * 0,012 * 500 = 9,87 тыс. грн.

На основе рассчитанного 1-дневного VaR несложно рассчитать при необходимости значение VaR для длинных временных горизонтов. Так, например 10-дневный VaR составит = 31,21 тыс. Грн.

Ответ : С вероятностью 95% в течение 1 торгового дня убытки по портфелю акций не превысят 9,87 тыс. Грн. или 1,98% стоимости портфеля.

2. Американский инвестор приобрел портфель украинских корпоративных облигаций одного выпуска, номинированных в гривне суммой в 750 тыс. Грн. Базовая валюта инвестора — доллар США, текущий курс которого составляет — 24 грн. за 1 USD. Рассчитать размер максимальных убытков инвестора в его базовой валюте с вероятностью 99% на временном горизонте 10 дней, если известно, что:

  • ежедневное стандартное отклонение обменного курса σ к UAH / USD составляет 0,571%
  • ежедневное стандартное отклонение рыночной процентной ставки σ r за подобными инструментами составляет 0,3%
  • коэффициент корреляции ρ между изменением обменного курса UAH / USD и рыночной процентной ставки составляет 0,15
  • модифицированная дюрация MD для данных облигаций составляет 4,494

Расчет: В данном случае существует два фактора риска для инвестора — процентный и валютный риски, а следовательно рассматривается их совместное нормальное распределение. В связи с тем, что модифицированная дюрация является одновременно и эластичностью изменения текущей стоимости инструмента от изменения рыночной процентной ставки (при малых значениях), то стандартное отклонение рыночной стоимости самой облигации можно рассчитать через ее модифицированную дюрацию, следовательноσ

σ = 0,003 * 4,494 = 0,013

P = 750 / 24 = 31,25 тыс. дол. (Текущая стоимость портфеля в долларах США)

Z (0,99) = 2,326 ст. отклонений.

Итак VaR (99%) = 2,326 * 0,047 * 31,25 = 3,42 тыс. Долл.

Ответ : С вероятностью 99% в течение 10 торговых дней убытки по портфелю корпоративных облигаций в пересчете на доллары США не превысят 3,42 тыс. Долл. или 10,94% стоимости портфеля.

Список использованных источников

  1. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг, М. – 2008 р. – 440 с.
  2. Иванов А.А., Олейников С.Я., Бочаров С.А. Риск-менеджмент М.: ЕАОИ, 2008. — 193 с.
  3. Jorion P. Financial Risk Manager Handbook, Wiley – 2007, 736 pages, 4th edition